基于欧拉角的云梯车高空作业的建模   蓬江云梯车出租公司, 蓬江云梯车出租, 云梯车出租  云梯车作为起高空作业的必要设备，特别是在航天，精密仪器等行业中，云梯车被广泛使用于箱体安装，卫星及飞船组件装卸和转运，舱段平台对接等项目，常常需要被调部件达到预支的姿态，以便满足对接和装配等操作，传统的云梯车没有自动调姿，明显已不能满足需求。目前我国航天领域高空作业模式采用与配套的专用云梯车，并且已经出现基于二维吊点自动调节调节功能的云梯车;但是对于质心偏离，需要达到预置姿态，工程设计人员一般观察的倾斜情况，根据经验值判断偏差情况。由于高空作业过程操作空间小，结构复杂，特别是其受力分布未知，会发生翻转，碰撞等，缺乏一定的理论依据而且存在未知的危险因素。由于云梯车属于刚柔超静定问题，其建模和控制方法具有较大的难度;  建立基于小车在xy平面独立移动2D模型，利用线性近似化非线性，利用李雅普洛夫稳定分析位置精度及其摆角;  基于非线性控制系统，采用PID和模糊控制防摇和定位。拉格朗日方程进行3D建模，分析了系统受吊绳长度，空气阻力摩擦力等影响。

       云梯车空间建模   姿态表示方法及对比刚体在空间中的姿态可以由旋转矩阵来描述，根据描述物体的不同，表示方式也有所不同，采用广义欧拉角，常见的广义欧拉角有卡尔丹角和姿态角，姿态角多用于运载火箭，船舶等方位等。得:sinθ=Ｒ23，sinθ=±1－Ｒ22槡3，cosφ=Ｒ22cosθ，sinψ=－Ｒ13/cosθ。当θ=π2时，存在奇异。同样在经典欧拉角中按照“313”旋转，用同样方式在θ=0或θ=π，只能求得ψ和φ的和，存在奇异。同理，当只研究两个坐标系间的角位置关系时，可建立四元数及旋转适量算法， 给出最终推导出由运载体坐标系b到导航坐标系n变换矩阵形式为Cnb=I+2Usinθ2cosθ2+2sin2θ2U。式中U=0－nmn0－l－ml0，uＲ=lmn。构造四元数Q=q0+q1i0+q2j0+q3k0=cosθ2+(li0+mj0+nk0)θ2式中uＲ为旋转轴，θ为旋转角度，将q0，q1，q2，q3，q4代入Cnb中得到四元数表示的坐标变换矩阵。综上分析，欧拉角适用于水平姿态变化不大的情况，不适用全姿态运载体，四元数未知数少，算法简单，但是对于高动态运载体姿态结算中存在着严重的漂移。

     云梯车姿态建模及其求解,   建立如下模型，与大固连的笛卡尔坐标系O－xyz.和被吊物体固连的坐标O－X1Y1Z，其转换次序依次φ→θ→ψ，即按航向角，俯仰角，滚转角。1Thespreaderspacemodelingmodel图1中a，b，c分别表示OA、OC、OD吊点之间固有的长度的距离，P为质心，其在固连体下的坐标P=(x，y，z)，Fi(1，2，3，4)分别为钢丝绳的吊点力设:OA1=(a，0，c)，OB1=(a，b，c)，OC1=(0，b，c);G=(00－g)，Fi=(00fi)其在大地坐标系中分别为OA，OB，OC由于Ｒ为正交矩阵，故OA1┬=ＲOA┬≥OA=OA1Ｒ由空间力和力矩平衡方程，∑MO=0，∑FZ=0，并用matlab对模型进行求解列方程如下:Z1=F1+F2+F3+F4+G(1)Z=cross(OA，F2)+cross(OB，F3)+cross(OC，F4)cross(OP，G)Z2=Z(1)(2)Z3=Z

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    (3)上述问题为空间超静定平行力系问题，力法和位移法是求解静不定问题的基本方法，因此需要通过变形协调条条件增加方程来求解，补充的方程应该和超静定的次数相等。由于钢丝绳为柔性绳，钢丝绳的伸长量和吊点力成正比关系，假设绳子紧绷但不受力，起吊之前绳长为l0，结构的质心位置决定着各吊点的大小及其变化规律，当通过调节达到预置形变姿态后1～4各吊点的形变分别为为Δl1，Δl2，Δl3，Δl4，假设F1`处的钢丝绳伸长量最小，吊点F3处的钢丝伸长量最大。   可以将该工过程分解为被吊物体在竖直方向发生Δi的位移时分别绕x和y轴旋转θ和ψ(θ∈0，π[]2，ψ∈0，π[]2，逆时针旋转取正，顺时针取负)，则各吊点钢丝形变几何关系如下:Δl2=Δl1+bsinθ;Δl3=Δl1+asinθ+bsinψ;Δl4=Δl1+asinψ。有几何空间共面定理得，Δl1+Δl3=Δl2+Δl4。设各钢丝绳的抗拉刚度均为EA，由胡克定律: Fi=EiAiεi;ε=Δli/li;Z4=F1l1+F3［l0－OB(3)］－F2×［l0－OA(3)］－F4［l0－OC(3)］

    (4)加入变形协调条件联立求解得:由于matlab对符号运算不强，不能运算出此方程式的符号解析解，采用maple对其方程组求解，由于解的方程比较冗余，现假定给出a=4，b=6，z=4的解F1=－1241－2cos(s)sin(t)+3sin(s)－lg［－6xsin(t)cos(s)－8cos(s)sin(t)y+18sin(s)x+6ysin(s)+48cos(s)sin(t)－3xl－2yl－72sin(s)+18l)］;F2=124(－6xsin(t)cos(s)+18sin(s)x－6ysin(s)－3xl+2yl－6l)g－2cos(s)sin(t)+3sin(s)－l;F4=124(6xsin(t)cos(s)－8cos(s)sin(t)y+6ysin(s)+3xl－2yl－6l)g－2cos(s)sin(t)+3sin(s)－l;F3=124g(－6xsin(t)cos(s)+6ysin(s)－3xl－2yl+6l)－2cos(s)sin(t)+3sin(s)－l。式中s，t分别表示θ和ψ，

       由于增加绳子之后，变形协调条件随之增加，所需补充方程次数和超静定次数始终相等。设被吊物体上任意一点(xiyizi)(i为吊点个数)，发生刚离地姿态相应坐标为(x1iy1iz1i)，则有如下方程组(xiyizi)=ＲφＲθＲψ(x1iy1iz1i)。Δli=zi－z1i;Fi=EiAiεi=EiAiΔli/li。 特别地发现如下规律:(1)当被吊物体处于水平状态时，任意两吊点力之和为定值;   (2)当重心与吊点共面时，吊点力的分布只与被吊物体在平面的质心有关，不受物体空间姿态变化的影响;   (3)当只发生俯仰或者滚转时，绳子收缩的吊点和相临绳子不收缩吊点之间力之和为定值。2仿真及其分析目前在众多的机械仿真软件中，FEA提供了单个部件卓越的建模和分析能力，其对于系统建模效率低，并且建立边界条件需要技术和经验;  目前AD-AMS占据机械系统动力仿真软件的50%市场。不仅可以进行机械建模，进行静力学，动力学，运动学仿真，可以有效的分析复杂系统运动情况，并且可以分析弹性体的外部载荷，在传统设计中一般通过概念设计—原型样机—校核—产品，在生产产品之前加入虚拟样机的建模和仿真极大地缩短开发周期，降低开发成本，其中柔性体在ADAMS中建模比较复杂，Adams中绳索柔性体建模一般采用离散元法和绳索模块，离散元即将柔性体离散成多个实体块，定义每个实体块的力学特性并进行约束和柔性连接，这样建模比较复杂而且误差大;新版本的AD-AMS在View/Machinery中提供绳索模块;此外还可以通过与大多数主流有限元软件ANSYS，ABAQUS，NASTＲSN等生成的柔性模态文件，再通过接口将其导入，本系统采用绳索模块高校准确的建立绳索结构，最终建模实例图。  其采用云梯车与大地固连，滑块1～4分别为上述对应吊点，通过电机驱动滑块1～4的移动来改变绳长，其各主要参数如下表所示:a=b=c=400mm，绳索杨氏模量E=1.0×105，泊松比μ=1.0×10－2，电机驱动速度为s=0.005m/s。当吊点和重心共面时，仅保持滑块1.2不动，其各吊点受力仿真结果。从图4可以看出吊点和重心共面时吊点力不受空间姿态变化的影响。验证了式(2)的结论。当吊点和重心不共面时，其中只允许1和2滑块运动从而使俯仰角变化。  当质心向右偏移l=150mm时，也只允许1.2滑块运动， 由于两次物体重心不同，吊点力随重心而改变，但是在物体经过短暂时间起吊后，吊点力1和4之和与吊点2和3力之和均为定值，验证了式(3)的结论。  

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